신호와 시스템

기준 자료: Samir S. Soliman, Mandyam D. Srinath, Continuous and Discrete Signals and Systems, 2nd ed., Prentice Hall, 1998. 1장 Representing Signals.

신호와 시스템을 수학으로 다루는 전자공학과 2학년 과목. 이후 통신, 제어, 회로 과목이 여기서 배운 표기와 변환을 그대로 가져다 쓰기 때문에, 전자공학 전공자라면 사실상 피해 갈 수 없는 과목이다. 특별한 언급이 없는 이상 이 글의 신호는 전부 독립변수가 시간 하나뿐인 연속시간 신호다. 이산시간 신호는 DSP¹의 몫이라 정의만 짚고 넘어간다. 아래 내용은 교재 1.1절부터 1.3절, 강의 슬라이드² 2번부터 9번까지에 해당한다.

신호의 정의

‘신호(signal)‘란 정보를 전달하기 위한, 검출 가능한 물리량을 말한다. 정의를 뜯어 보면 조건이 세 개다.

1. 물리량이거나 물리량을 나타내는 변수여야 한다. 음성의 진폭, 화면 픽셀의 밝기, 회로의 전류 따위가 전부 여기에 든다.
2. 검출 가능해야 한다³. 즉 받는 쪽에서 그 물리량을 측정할 수 있어야 한다.
3. 정보를 담고 있어야 한다. 검출은 되지만 아무 정보도 없는 물리량은 신호로 치지 않는다.

쉽게 말해 물리적 의미가 붙은 함수라는 이야기다. 독립변수(함수의 입력)가 몇 개인지⁴는 신호마다 다르다.

신호	표기	독립변수
음성, 회로의 전류 $i(t)$, 전압 $v(t)$	$A(t)$	시간 $t$ 하나
이미지	$p(x, y)$	좌표 $x, y$ 둘
전기장	$E(x, y, z, t)$	공간 좌표 셋과 시간

이 과목에서 다루는 것은 어디까지나 독립변수가 시간 $t$ 하나인 $x(t)$에 국한된다. 이미지 $p(x, y)$는 영상처리 과목으로 넘어가고, 동영상은 여기에 시간이 하나 더 붙은 $p(x, y, t)$가 된다.

연속시간 신호와 이산시간 신호

‘연속시간(continuous-time) 신호’는 독립변수가 실수 구간 전체에서 정의된 신호다. 여기서 continuous라는 말이 함수값이 아니라 독립변수에 붙는다는 점에 주의해야 한다⁵. 라디오 신호 $v(t)$는 시간 $t$가, 대기압 $p(h)$는 고도 $h$가 독립변수인데, 둘 다 실수 전체를 훑으므로 연속시간 신호가 된다. 고도처럼 시간이 아닌 독립변수라도 연속이기만 하면 같은 부류다.

‘이산시간(discrete-time) 신호’는 독립변수가 띄엄띄엄한 값만 갖는 신호다. 연속시간 신호 $x(t)$에서 $t = kT_s$인 자리의 값만 뽑아내면 $x(kT_s)$가 되는데, 이때 $T_s$⁶는 고정된 양의 실수이고 $k$는 정수($0, \pm 1, \pm 2, \dots$)다. 가령 $T_s = 2$면 $t = 0, \pm 2, \pm 4, \dots$에서만 값이 있다. 아래 그림에서 cyan 곡선이 모든 실수 $t$에서 값을 갖는 $x(t)$이고, magenta 점이 $t = kT_s$에서만 값을 갖는 $x(kT_s)$다. 둘을 가를 때는 함수값이 얼마나 높은지가 아니라 점이 $t$축 어디에 찍혔는지를 보면 된다.

함수의 연속성

신호는 함수이므로 신호의 연속성도 고등학교에서 배운 함수의 연속성을 그대로 가져다 쓰면 된다. 애초에 새로 배울 것이 없는 자리다. $x(t)$가 $t = t_1$에서 연속이려면 다음 두 조건이 차례로 성립해야 한다.

1. 좌극한 $x(t_1^-)$와 우극한 $x(t_1^+)$가 같다. 이때 비로소 $t_1$에서 극한이 존재한다.
2. 그 극한값이 함수값 $x(t_1)$과 같다.

모든 $t$에서 연속이면 continuous 신호라 하고, 불연속점이 유한 개면 ‘piecewise continuous(조각 연속)’⁷ 신호라 한다. 바꿔서 말하자면 불연속점이 무한 개면 piecewise continuous도 아니라는 이야기다.

불연속점에서의 함수값

흔히 불연속점에서는 함수값이 없다고 배우는데, 일반 수학에서는 실제로 그 값을 비워 둔다. 그런데 이 교재는 불연속점 $t_1$의 함수값을 좌극한과 우극한의 평균⁸으로 못 박는다.

$$ x(t_1) = \frac{1}{2}\left[x(t_1^+) + x(t_1^-)\right] $$

‘단위계단함수(unit step function)’ $u(t)$는 $t < 0$에서 0, $t > 0$에서 1인 함수다. $t = 0$에서 좌극한 0과 우극한 1이 다르니 극한이 없고, continuous가 아니라 piecewise continuous가 된다. 여기에 평균 약속을 적용하면 $u(0) = \tfrac{1}{2}$다. 아래 그림 왼쪽에서 빈 원 두 개가 좌극한 $a$와 우극한 $b$이고, 채운 점이 교재가 정한 함수값 $\tfrac{a + b}{2}$다. 오른쪽에 같은 규칙을 대면 $a = 0$, $b = 1$이라 $u(0) = \tfrac{1}{2}$가 나오는 것이다.

예를 들어 $x(t) = 2u(t - 1) - u(t - 3)$은 $t < 1$에서 0, $1 < t < 3$에서 2, $t > 3$에서 1이다. 불연속점은 $t = 1, 3$이고, $x(1) = \tfrac{0 + 2}{2} = 1$, $x(3) = \tfrac{2 + 1}{2} = \tfrac{3}{2}$가 된다. 불연속점이 두 개뿐이므로 piecewise continuous다.

사각 펄스와 펄스 트레인

‘사각 펄스(rectangular pulse)’ $\mathrm{rect}(t/\tau)$는 $|t| < \tfrac{\tau}{2}$에서 1, $|t| > \tfrac{\tau}{2}$에서 0인 함수다.

$$ \mathrm{rect}(t/\tau) = \begin{cases} 1, & |t| < \tau/2 \\ 0, & |t| > \tau/2 \end{cases} $$

높이는 1로 고정이고, 파라미터 $\tau$⁹가 밑변 폭을 정한다. 이름이 사각 펄스지 실제로 조절할 수 있는 것은 폭 하나다. 참고로 rect 함수의 정의는 책마다 조금씩 달라서, 밑변이 $\tau$이고 원점을 중심으로 좌우 $\tfrac{\tau}{2}$씩 벌어진 이 형태는 이 교재의 약속이다. 불연속점은 $t = \pm\tfrac{\tau}{2}$ 두 곳이므로 piecewise continuous이고, $t$는 실수 전체에서 정의되므로 연속시간 신호다.

$\mathrm{rect}(t/\tau)$를 일정 간격으로 시간 이동시켜 죽 더하면 ‘펄스 트레인(pulse train)’¹⁰이 된다. 폭 1인 펄스를 간격 2로 반복한 트레인은 다음과 같다. $n$은 모든 정수를 돈다.

$$ x(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \mathrm{rect}(t - 2n) $$

불연속점이 $t = 2n \pm \tfrac{1}{2}$에 무한 개 있으니 continuous도, piecewise continuous도 아니다. 물론 $t$는 실수 전체에서 정의되므로 연속시간 신호인 것은 변함없다. 펄스를 유한 개로 잘라내면 불연속점도 유한 개가 되어 piecewise continuous로 돌아온다.

continuous와 continuous-time의 구분

두 용어는 이름만 비슷할 뿐 보는 축이 다르다. 이름이 비슷하다는 이유 하나로 그야말로 매번 헷갈리는 자리이니 주의하자.

용어	축	판정 기준
continuous / piecewise continuous	세로축(함수값 $x$)	극한 조건이 깨지는 점의 개수
continuous-time / discrete-time	가로축(독립변수 $t$)	$t$가 실수 구간 전체에서 정의되는가, $t = kT_s$에서만 정의되는가

신호	함수값 성질	독립변수 성질
$\sin t$	continuous	continuous-time
사각 펄스, $u(t)$	piecewise continuous	continuous-time
무한 펄스 트레인	불연속점 무한 개, piecewise continuous 아님	continuous-time
$x(kT_s)$	함수값 성질은 따지지 않음	discrete-time

즉 불연속점이 몇 개든 $t$축이 실수 전체이면 연속시간 신호다. 이 과목의 신호는 전부 연속시간 신호이고, 그 안에서 continuous냐 piecewise continuous냐만 따지게 된다. 괜히 두 용어를 나란히 놓고 비교하는 것이 아니다.

연습 문제 1

$x(t) = 3\,\mathrm{rect}\!\left(\frac{t - 4}{2}\right)$에 대해 다음을 구한다.

(a) 값이 3인 $t$ 구간 (b) 불연속점 (c) 교재의 정의에 따른 불연속점에서의 함수값 (d) $T_s = 1$로 샘플링한 $x(kT_s)$에서 값이 0이 아닌 정수 $k$ 전부

풀이. $\mathrm{rect}(t/\tau)$의 정의에서 $\tau = 2$이고 $t$ 자리에 $t - 4$가 들어갔으므로 $|t - 4| < 1$, 즉 $3 < t < 5$에서 값이 3이다. 불연속점은 $t = 3, 5$다. 두 점 모두 좌극한과 우극한이 0과 3이므로 $x(3) = x(5) = \tfrac{0 + 3}{2} = \tfrac{3}{2}$가 된다. $T_s = 1$이면 $t = k$이니 $k = 3, 4, 5$에서 값이 각각 $\tfrac{3}{2}, 3, \tfrac{3}{2}$이고, 나머지 $k$에서는 0이다.

주기 신호와 기본 주기

‘주기(periodic) 신호’란 어떤 양수 $T$에 대해 모든 $t$에서 다음이 성립하는 연속시간 신호를 말한다.

$$ x(t) = x(t + nT), \qquad n = 1, 2, 3, \dots $$

모든 $t$에서 성립해야 하므로 신호가 $-\infty$부터 $+\infty$까지 있다고 가정할 수밖에 없다¹¹. $T$가 주기면 $2T$, $3T$, $4T$도 당연히 주기다. 정의대로라면 주기가 무한히 많은 셈이라 대표를 하나 골라야 하는데, 그중 가장 작은 양수 $T$를 ‘기본 주기(fundamental period)’¹²라 하고 $T_0$로 쓴다. 기본 주기가 2인 신호는 4와 6도 주기로 갖는 것이다. 이런 $T$가 아예 없는 신호는 ‘비주기(aperiodic) 신호’라 한다.

사인파

실수값 사인파는 파라미터 셋으로 정해진다.

$$ x(t) = A\sin(\omega_0 t + \phi) $$

$A$는 진폭이고, $x(t)$는 $-A$와 $A$ 사이를 오간다. $\omega_0$는 ‘각주파수(radian frequency)‘로 단위는 rad/s다. $\phi$는 초기 위상¹³이고 단위는 rad다. 각주파수와 주파수 $f_0$(단위 Hz)¹⁴의 관계, 그리고 기본 주기는 다음과 같다.

$$ \omega_0 = 2\pi f_0, \qquad T_0 = \frac{1}{f_0} = \frac{2\pi}{\omega_0} $$

아래 그림에서 $A$는 세로 범위를, $T_0$는 위상이 같은 두 점 사이의 가로 거리를, $\phi$는 $t = 0$에서 곡선이 출발하는 높이 $A\sin\phi$를 정한다. 다시 말해 사인파 하나를 특정하려면 이 셋을 전부 알아야 하고, 반대로 셋을 알면 사인파는 하나로 정해진다.

하모닉

기본 각주파수 $\omega_0$가 있을 때, 각주파수가 정확히 $k\omega_0$인 사인파를 ‘$k$번째 하모닉(harmonic)’¹⁵이라 한다. $k$가 곧 하모닉 번호이고 1부터 센다.

$$ \omega_k = k\,\omega_0, \qquad f_k = k f_0, \qquad T_k = \frac{2\pi}{k\,\omega_0} = \frac{T_0}{k} $$

$\omega_0 = 2\pi$면 첫째, 둘째, 셋째 하모닉의 각주파수는 $2\pi$, $4\pi$, $6\pi$이고 주기는 $1$, $\tfrac{1}{2}$, $\tfrac{1}{3}$ s다. 아래 그림에서 보듯 $k$가 커질수록 같은 $T_0$ 안에서 $k$번 진동하고, $t = T_0$에서 세 곡선이 한꺼번에 출발점으로 돌아온다. 따라서 하모닉을 몇 개를 더하든 합의 기본 주기는 $T_0$인 것이다.

그렇다면 사인파 여러 개를 더한 신호가 주기 신호인지, 기본 주기가 얼마인지는 어떻게 아는가? 각주파수만 보면 된다. 주기 쪽으로 가면 분수의 최소공배수를 쌩으로 구해야 해서 계산이 길어지고, 각주파수 쪽으로 가면 정수의 최대공약수 하나로 끝나는 것이 이유다. 합의 기본 각주파수는 각 항 각주파수의 최대공약수¹⁶이고, 각 항의 하모닉 번호는 그 항의 각주파수를 $\omega_0$로 나눈 값이다.

$$ x(t) = \cos(4\pi t) + \sin(6\pi t): \quad \omega_0 = 2\pi, \quad T_0 = 1 \text{ s}, \quad k = 2, 3 $$

참고로 각주파수의 비가 무리수면 최대공약수가 없고, 이 경우 합은 비주기 신호가 된다. 겉보기에는 멀쩡한 사인파 두 개를 더해 놓고도 주기가 없다고 답해야 하는 경우가 바로 이것이다.

조화 관계 복소지수

하모닉을 사인파 대신 복소지수¹⁷로 쓰면 다음 집합이 된다. 굳이 복소수까지 끌어들이는 것은 $\cos$과 $\sin$을 식 하나에 담기 위해서다.

$$ \phi_k(t) = e^{\,jk\omega_0 t}, \qquad k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots $$

$k \neq 0$이면 각주파수 $|k|\omega_0$, 기본 주기 $\tfrac{2\pi}{|k|\omega_0}$인 주기 신호다. 절댓값은 $k$가 음수일 때도 각주파수와 주기를 양수로 두기 위한 것이고, $k$가 양수면 하모닉 식과 똑같다. 모든 $\phi_k(t)$는 $T_0 = \tfrac{2\pi}{\omega_0}$를 공통 주기로 갖는다. $k = 0$¹⁸이면 $\phi_0(t) = 1$, 즉 상수라서 주기라는 것 자체가 정의되지 않는다.

오일러 공식으로 실수부와 허수부를 갈라 놓으면 복소평면(가로축 실수부, 세로축 허수부) 위의 점 하나가 된다.

$$ e^{\,j\omega_0 t} = \cos\omega_0 t + j\sin\omega_0 t $$

시각 $t$의 점은 $(\cos\omega_0 t, \sin\omega_0 t)$이고 크기는 $\sqrt{\cos^2 + \sin^2} = 1$이다. $t = 0$에서 $(1, 0)$을 출발해 $t$가 늘수록 반시계 방향으로 돌다가 $\omega_0 t = 2\pi$가 되는 순간 출발점으로 돌아온다. 어느 $t$에서든 반지름 1인 단위원 위에 있으므로, 극좌표로 쓰면 크기 1에 각도 $\omega_0 t$라고 생각하면 된다.

연습 문제 2

$x(t) = 2\cos(6\pi t) + \sin(9\pi t)$에 대해 다음을 구한다.

(a) 기본 각주파수 $\omega_0$와 기본 주기 $T_0$ (b) 각 항의 하모닉 번호 (c) 첫째 하모닉의 각주파수 $\omega_1$과 주기 $T_1$

풀이. 각주파수 $6\pi$와 $9\pi$의 최대공약수는 $3\pi$이므로 $\omega_0 = 3\pi$ rad/s, $T_0 = \tfrac{2\pi}{3\pi} = \tfrac{2}{3}$ s다. $\tfrac{6\pi}{3\pi} = 2$, $\tfrac{9\pi}{3\pi} = 3$이니 $2\cos(6\pi t)$가 둘째, $\sin(9\pi t)$가 셋째 하모닉이다. 첫째 하모닉은 $\omega_1 = \omega_0 = 3\pi$ rad/s, $T_1 = T_0 = \tfrac{2}{3}$ s가 된다.